Stringtheorie für Fortgeschrittene

In der konventionellen Quantenfeldtheorie (QFT) werden Punktteilchen durch eindimensionale Weltlinien beschrieben. Das fundamentale Problem? Wechselwirkungen finden an mathematischen Punkten statt, was zu gravierenden Ultraviolett-Divergenzen (UV-Divergenzen) führt, sobald wir versuchen, die Gravitation störungstheoretisch zu quantisieren.

Die Stringtheorie ersetzt dieses Konzept. Ein eindimensionaler String durchläuft die Raumzeit und spannt dabei eine zweidimensionale Weltfläche (Worldsheet) auf. Die Dynamik dieser Fläche wird durch die Nambu-Goto-Wirkung – oder äquivalent durch die Polyakov-Wirkung – beschrieben, welche die zweidimensionale konforme Symmetrie der Weltfläche nutzt.

Der entscheidende physikalische Vorteil: Es gibt keinen singulären Interaktionspunkt mehr. Wenn zwei Strings verschmelzen, ist die Wechselwirkungsgeometrie eine glatte, topologische Röhre ("Pants-Diagramm"). Diese räumliche Verschmierung (Smearing) eliminiert das $1/r^2$-Singularitätsproblem und macht die Theorie im UV-Bereich endlich. Das Graviton taucht dabei auf natürliche Weise als masselose Anregung geschlossener Strings im Spektrum auf.

Die rein bosonische Stringtheorie ist fehlerhaft: Sie erfordert 26 Dimensionen, um die formale Weyl-Anomalie zu kürzen, enthält keine Fermionen und leidet unter einem instabilen Tachyon-Zustand. Die Lösung ist die Superstringtheorie.

Durch die Einführung der Weltflächen-Supersymmetrie und die Anwendung der sogenannten GSO-Projektion wird das Tachyon aus dem Spektrum eliminiert. Gleichzeitig entstehen Raumzeit-Fermionen. Die kritische Dimension der Raumzeit sinkt auf 10 (9 räumlich, 1 zeitlich), um die superkonforme Invarianz aufrechtzuerhalten.

Da wir jedoch in vier Dimensionen leben, müssen die sechs zusätzlichen Dimensionen kompaktifiziert (aufgerollt) werden. Um die chrialen Eigenschaften des Standardmodells und mindestens $N=1$ Supersymmetrie in vier Dimensionen zu bewahren, müssen diese Extradimensionen spezielle geometrische Eigenschaften besitzen. Sie werden typischerweise als Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten modelliert, komplexe Räume mit SU(n)-Holonomie und verschwindendem Ricci-Tensor.

Lange Zeit fokussierte man sich auf geschlossene Strings. Offene Strings benötigen jedoch Randbedingungen für ihre Endpunkte. Die bahnbrechende Erkenntnis von Joseph Polchinski war, dass Dirichlet-Randbedingungen, die den Endpunkt eines Strings räumlich fixieren, ausgedehnte, physikalische Objekte implizieren: die D-Branen.

D-Branen sind weit mehr als nur mathematische Ankerpunkte. Sie sind schwere, dynamische Solitonen, die Ramond-Ramond-Ladungen (RR-Ladungen) tragen – Ladungen, an die fundamentale Strings selbst nicht koppeln können. Dies macht sie zu nicht-störungstheoretischen Objekten der Theorie.

Das Faszinierende daran: Die niederenergetischen Anregungen der offenen Strings, die auf einem Stapel von $N$ koinzidierenden D-Branen enden, erzeugen exakt eine nicht-abelsche Eichtheorie (Yang-Mills mit SU(N) Eichgruppe). Das bedeutet, dass die gesamte Physik des Standardmodells prinzipiell auf dem Weltvolumen solcher Branen "leben" kann.

Mitte der 1990er Jahre befand sich die Physik in einer Krise des Überflusses: Es gab fünf konsistente Superstringtheorien (Typ I, Typ IIA, Typ IIB, SO(32) Heterotisch, E8xE8 Heterotisch). Edward Witten revolutionierte das Feld, als er zeigte, dass diese fünf nur verschiedene Grenzfälle einer einzigen, umfassenden Theorie sind.

Diese Vereinheitlichung gelingt durch Dualitäten. Die T-Dualität beweist, dass eine Theorie auf einem Kreis mit dem Radius $R$ mathematisch identisch ist mit einer anderen auf dem Radius $\alpha'/R$, weil Winding-Moden (Strings, die sich um die Dimension wickeln) und Impuls-Moden ihre Rollen tauschen (z. B. Typ IIA und Typ IIB).

Die S-Dualität verknüpft das Regime schwacher Kopplung einer Theorie mit dem der starken Kopplung einer anderen ($g_s \leftrightarrow 1/g_s$). Wittens Geniestreich war die Erkenntnis, dass das Stark-Kopplungs-Limit der Typ IIA Theorie eine zusätzliche elfte räumliche Dimension öffnet. Diese fundamentale 11-dimensionale Theorie wird M-Theorie genannt.

Der vielleicht profundeste konzeptionelle Durchbruch der modernen theoretischen Physik ist Juan Maldacenas AdS/CFT-Korrespondenz aus dem Jahr 1997. Sie liefert die erste exakte, mathematische Realisierung des holografischen Prinzips.

Die Korrespondenz postuliert eine exakte Äquivalenz (Dualität) zwischen zwei völlig unterschiedlich erscheinenden Theorien: Einer Quantengravitationstheorie (wie der Typ IIB Stringtheorie) im 5-dimensionalen Anti-de-Sitter-Raum ($AdS_5 \times S^5$) und einer konformen Feldtheorie (CFT, spezifisch der $N=4$ supersymmetrischen Yang-Mills-Theorie) auf dem 4-dimensionalen asymptotischen Rand dieses Raumes.

Das Brillante: Die CFT am Rand kommt völlig ohne Gravitation aus. Dennoch enthält sie exakt dieselben physikalischen Informationen wie der "Bulk"-Raum mit Gravitation im Inneren. Da die Dualität stark/schwach gekoppelt ist, können wir extrem komplexe, stark gekoppelte Quantenprozesse (wie Quark-Gluon-Plasmen) im Rand berechnen, indem wir sie in ein schwach gekoppeltes Gravitationsproblem im Bulk übersetzen.